fbpx

Persamaan Garis Singgung Lingkaran, Pengertian, Contoh Soal dan Pembahasan

By

Persamaan Garis Singgung Lingkaran – Selamat datang di Blog CluAds, artikel kali ini akan membahas seputar pelajaran matematika yakni contoh soal persamaan garis singgung lingkaran beserta dengan penjelasannya.

Ini merupakan materi pertama tentang matematika, karena sebelumnya membahas seputar kebudayaan dan bahasa indonesia tentang kalimat homonim.

Sehingga buat para pembaca yang masih bingung terhadap materi persamaan garis singgung, bisa belajar pada artikel kali ini.

Di artikel ini, nantinya akan membahas :

  1. Pengertian Garis Singgung
  2. Materi persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu
  3. Contoh soal tentang persamaan garis singgung lingkaran yang telah diketahui gradiennya.
  4. Contoh dari soal persamaan garis singgung yang melalui titik diluar lingkaran
  5. Persamaan garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik
  6. Pembuktian rumus persamaan garis singgung lingkaran

Nah di atas adalah beberapa materi yang akan di bahas kali ini.

Oleh karena itu kita mulai dari penjelasannya terlebih dahulu.

Karena jika belum mengetahui apa itu persamaan garis singgung lingkaran, akan sulit memahaminya.

Pengertian Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang menyentuh lingkaran pada satu titik. Titik ini disebut titik singgung atau dikenal sebagai titik tangen.

Garis singgung lingkaran selalu tegak lurus terhadap jari-jari pada titik singgung.

Garis Yang Bersinggungan Dengan Lingkaran

bersinggungan dengan lingkaran

Garis yang menggabungkan dua titik dekat yang tidak terbatas dari titik pada lingkaran disebut dengan garis singgung.

Dengan kata lain, dapat kita simpulkan bahwa garis-garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik disebut garis tangen.

Titik singgung adalah titik dimana garis singgung menyentuh lingkaran.

Macam-Macam Garis Singgung Dua Lingkaran

Pengertian Garis Singgung

Disebut dengan dua lingkaran karena ada garis yang bersinggungan dengan keduanya pada saat yang sama.

Jika lingkaran terpisah (tidak terpotong), ada empat kemungkinan garis singgung yang umum :

Materi persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

Dua Garis Singgung Eksterna

Materi persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

Dua Garis Singgung Internal

Jika dua lingkaran menyentuh pada satu titik saja, ada tiga garis singgung yang mungkin sama untuk keduanya :

Materi persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

Jika dua lingkaran menyentuh pada satu titik saja dengan satu di dalam yang lain, hanya ada satu garis yang bersinggungan dengan keduanya :

persamaan garis singgung lingkaran

Jika lingkaran tumpang tindih yaitu berpotongan di dua titik, ada dua garis singgung yang sama untuk keduanya :

persamaan garis singgung lingkaran

Jika lingkaran terletak satu di dalam yang lain, tidak ada garis singgung yang sama untuk keduanya.

Garis singgung ke lingkaran dalam akan menjadi garis potong dari lingkaran luar.

persamaan garis singgung lingkaran

Ciri-Ciri Garis Singgung

Contoh soal tentang persamaan garis singgung lingkaran yang telah diketahui gradiennya.

Sebuah garis dikatakan garis singgung karena memiliki ciri khusus.

Nah… berikut ini adalah poin-poin tentang sifat garis singgung :

  • Garis singgung tidak pernah melewati lingkaran, hanya menyentuh lingkaran.
  • Pada titik singgung tegak lurus terhadap jari-jari.
  • Sebuah akor (segemen garis yang menghubungkan dua lingkaran) dan garis singgung membentuk sudut dan sudut ini sama dengan garis singgung yang tertulis di sisi berlawanan akor.
  • Dari titik eksternal yang sama, segemen garis singgung ke lingkaran sama.

Teorema Untuk Tangen

Contoh dari soal persamaan garis singgung yang melalui titik diluar lingkaran

Sebelum membahas teorema untuk tangen, Anda harus mengetahui terlebih apa itu Teorema.

Sehingga tidak salah persepsi dalam menafsirkan materi ini.

Menurut Sumber dari Wikipedia Teorema adalah sebuah pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui.

Teorema 1

bersinggungan dengan lingkaran

Jari-jari pada garis singgung diperoleh dengan menggabungkan pusat dan titik singgung.

Garis singgung pada titik lingkaran berada pada sudut kanan jari-jari ini (AB⊥OP).

Teorema 2

bersinggungan dengan lingkaran

Teorema ini menyatakan bahwa jika dari satu titik eksternal, ditarik dua garis singgung ke lingkaran maka akan terdapat segmen garis singgung yang sama.

Segemen tangen berarti garis yang menghubungkan titik eksternal dan titik singgung. Disini AC=BC

Ini adalah beberapa teorema dasar tetntang garis singgung ke lingkaran.

Rumus Tangen (Titik Singgung)

bersinggungan dengan lingkaran

Dari titik di atas dapat dilihat bahwa P adalah titik eksterior.

Dari titik eksterior itu, lingkaran memiliki garis singgung pada titik A dan B.

Garis yang memotong kurva menjadi dua bagian atau lebih dikenal sebagai garis potong.

Jadi, disini garis potong adalah PR (lihat pada gambar), R memotong lingkaran seperti yang ditunjukan gambar di atas.

Dibawah ini adalah rumus untuk garis singgung.

PR / PS = PS / PQ

PS  = PQ.PR

Contoh Kasus Persamaan Garis Singgung Ke Lingkaran

Persamaan garis singgung lingkaran yang ditarik dari titik

Lingkaran dengan pusat C(a;b) dan radius r unit ditunjukan pada diagram diatas.

D (x;y) adalah titik pada keliling.

Untuk persamaan lingkaran adalah :

(x – a)² + (y – b)² = r²

Garis singgung adalah garis lurus yang menyentuh keliling lingkaran di satu tempat.

Garing singgung AB menyentuh lingkaran di D.

Jari-jari lingkaran CD adalah tegak lurus terhadap garis singung AB pada titik kontak D.

CD⊥AB

dan CDA = CDB = 90º

Hasil dari gradien jari-jari dan gradien dari garis tangen sama dengan -1.

mCD x mAB = -1

Contoh soal tentang persamaan garis singgung lingkaran

Pembuktian rumus persamaan garis singgung lingkaran

Dibawah ini adalah beberapa contoh soal persamaan garis singgung beserta pembahasannya :

1. Contoh Soal dan Pembahasan #1

Tentukan persamaan garis singgung ke lingkaran

x2+ y2 – 2y + 6x – 7 = 0 Pada titik F ( – 2 ; 5 )

Pembahasan

Langkah 1.

Tulis persamaan lingkaran dalam bentuk

( x – a )2+ ( y- b )2= r2

Gunakan metode menyelesaikan kuadrat :

x² + y² – 2y + 6x – 7 = 0

x² + 6x + y² – 2y = 7

(x² + 6x + 9) – 9 + (y² – 2y + 1) – 1 = 7

(x + 3)² + (y-1)² = 2

Langkah 2.

Buat sketsa

Pusat lingkaran adalah (-3;1)‌-√17

180ea42e4bd8deeeb958e41e6ba8132f.png

langkah 3.

Tentukan gradien jari-jari CF

mCF = y2 – y1

x2 – x1

5 – 1

-2 + 3

= 4

Langkah 4.

Tentukan gradien garis singgung

Biarkan gradien garis singgung menjadi m

mCF x m = -1

4 x m = -1

∴m = -1/4

Langkah 5.

Tentukan persamaan garis singgung ke lingkaran

Tuliskan bentuk titik gradien dari persamaan garis lurus dan gantikan m

= -1/4 dan F (-2 ; 5)

y – y1 = m (x – x1)

y – y1 = -1/4 (x – x1)

Pengganti F (-2 ; 5) : y-5 = -1/4 (x – (-2))

y – 5 = -1/4 (x + 2)
y= -1/4x – 1/2 + 5

= -1/4 x + 9/2

Langkah 6.

Tulis Jawaban Terakhir

Persamaan garis singgung ke lingkaran di F

y = -1/4x + 9/2\

 

2. Contoh Soal dan Pembahasan #2

Lingkaran dengan Pusat (8 ; 7) dan titiknya (5 ; 5) pada lingkaran. Tentukan gradien jari – jari.

Diketahui :

  • Pusat Lingkaran ( a ;  b ) = (8 ; -7)
  • Sebuah titik pada lingkaran (x1 ; y1) = (5 ; 5)

Jawaban :

  • Gradien Jari-jari m

Gradien jari-jari adalah = -2/3

 

3. Contoh Soal dan Pemabahasan #3

Tentukan Gradien garis singgung ke lingkaran pada titik tersebut (5 ; -5)

Dik :

Garis Singgung ke lingkaran pada titik (5 ; 5) tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran ke titik yang sama:  mm⊥ = –1

Gradien untuk garis singgung adalah m⊥ = 3/2

Contoh Soal Latihan Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Pada Gambar diagram dibawah ini Pembuktian rumus persamaan garis singgung lingkaran

Tentukan persamaan garis singgung ke lingkaran dengan pusat C pada titik H ?

2. Pada titik P(2 ; -4) di lingkaran (x ; 4²) + (y + 5²) = 5 temukan persamaan tangen di P ?

3. Garis lurus y = x + 2 memotong lngkaran x² + y² = 20 di P dan Q.

  • Hitung koordinat P dan Q
  • Tentukan panjangnya PQ
  • Tentukan Koordinat M, titik tengah akor PQ
  • Jika O adalah pusat lingkaran, buktikan pada PQ ⊥ O M
  • Tentukan persamaan garis singgung ke lingkaran di P dan Q.
  • Tentukan koordinat S, titik di mana kedua garis singgung bersilangan
  • Tentukan Persamaan dari dua garis singgung ke lingkaran, keduanya sejajar dengan garis y + 2x = 4

Kesimpulan

Pembuktian rumus persamaan garis singgung lingkaran

Dalam menyelesaikan soal tentang persamaan garis singgung, Anda bisa mencermati terlebih dahulu apa yang sudah diketahuinya seperti gradien, jari-jari dan lainnya.

Sehingga ketika mengerjakan akan lebih mudah lagi.

Terima kasih telah membaca artikel Persamaan Garis Singgung Lingkaran, Pengertian, Contoh Soal dan Pembahasan.

Tinggalkan komentar

%d blogger menyukai ini: